Задача №17625

Положительные числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ удовлетворяют соотношению

$$a^2+b^2+c^2=1.$$

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+bc\sqrt{3}\text{.}$

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

$$ab+bc\sqrt{3}=\sqrt{a^2{b}^2}+\sqrt{3b^2{c}^2}=2\cdot \sqrt{a^2\cdot \frac{1}{4}{b}^2}+2\cdot \sqrt{\frac{3}{4}{b}^2\cdot c^2}⩽\left(a^2+\frac{1}{4}{b}^2\right)+\left(\frac{3}{4}{b}^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2=1.$$

При этом равенство достигается при $a^2=\frac{1}{4}{b}^2$ и $\frac{3}{4}{b}^2=c^2\text{,}$ то есть при $a=\frac{1}{2}b$ и $c=\frac{\sqrt{3}}{2}b\text{.}$ При выполнении этих равенств имеем $1=a^2+b^2+c^2=2b^2\text{,}$ откуда $b=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ $a=\frac{1}{2\sqrt{2}}\text{,}$ $c=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ и $ab+bc\sqrt{3}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\text{.}$