Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению a^2+b^2+c^2=1. Найдите наибольшее возможное значение выражения ab+bcsqrt(3).

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ab+bcsqrt(3)=sqrt(a^2b^2)+sqrt(3b^2c^2)=2*sqrt(a^2*(1)/(4)b^2)+2*sqrt((3)/(4)b^2* c^2)(a^2+(1)/(4)b^2)+((3)/(4)b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2=1. При этом равенство достигается при a^2=(1)/(4)b^2 и (3)/(4)b^2=c^2, то есть при a=(1)/(2)b и c=(sqrt(3))/(2)b. При выполнении этих равенств имеем 1=a^2+b^2+c^2=2b^2, откуда b=(1)/(sqrt(2)), a=(1)/(2sqrt(2)), c=(sqrt(3))/(2sqrt(2)) и ab+bcsqrt(3)=(1)/(4)+(3)/(4)=1.

1