В правильной треугольной пирамиде ABCS проведено сечение через ребро основания AB перпендикулярно боковому ребру CS. Найдите его площадь, если известно, что площадь основания пирамиды равна 3, а площадь каждой боковой грани равна sqrt(5).

Обозначим точку пересечения сечения и ребра CS через D. Середину ребра AB обозначим через M. Поскольку плоскость SCM перпендикулярна AB, отрезки CM, DM и SM суть высоты треугольников ABC, ABD и ABS соответственно. Причём относятся эти высоты друг к другу в точности, как площади этих треугольников. Рассмотрим треугольник SCM. Высота SH этого треугольника совпадает с высотой пирамиды, а H — с центром треугольника ABC. Следовательно, MH : HC = 1 : 2. Положим x = MH. Тогда CM = 3x, SM = (sqrt(5))/(3)* 3x = sqrt(5)x, SH = 2x, SC = 2sqrt(2)x. Площадь треугольника SCM, стало быть, равна (3* 2)/(2)x^2 = 3x^2 и, значит, DM = (6x^2)/(2sqrt(2)x) = (3)/(sqrt(2))x, поскольку DM — высота треугольника SCM. Отсюда получаем, что искомая площадь равна 3*((3)/(sqrt(2))x)/(3x)=(3)/(sqrt(2)).

\(\frac{3}{\sqrt{2}}\)