Задача №17619

В правильной треугольной пирамиде $ABCS$ проведено сечение через ребро основания $AB$ перпендикулярно боковому ребру $CS\text{.}$ Найдите его площадь, если известно, что площадь основания пирамиды равна 3, а площадь каждой боковой грани равна $\sqrt{5}\text{.}$

Обозначим точку пересечения сечения и ребра $CS$ через $D\text{.}$ Середину ребра $AB$ обозначим через $M\text{.}$ Поскольку плоскость $SCM$ перпендикулярна $AB\text{,}$ отрезки $CM\text{,}$ $DM$ и $SM$ суть высоты треугольников $ABC\text{,}$ $ABD$ и $ABS$ соответственно. Причём относятся эти высоты друг к другу в точности, как площади этих треугольников. Рассмотрим треугольник $SCM\text{.}$ Высота $SH$ этого треугольника совпадает с высотой пирамиды, а $H$ — с центром треугольника $ABC\text{.}$ Следовательно, $MH:HC=1:2\text{.}$ Положим $x=MH\text{.}$ Тогда $CM=3x\text{,}$ $SM=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot 3x=\sqrt{5}x\text{,}$ $SH=2x\text{,}$ $SC=2\sqrt{2}x\text{.}$ Площадь треугольника $SCM\text{,}$ стало быть, равна $\frac{3\cdot 2}{2}{x}^2=3x^2$ и, значит, $DM=\frac{6x^2}{2\sqrt{2}x}=\frac{3}{\sqrt{2}}x\text{,}$ поскольку $DM$ — высота треугольника $SCM\text{.}$ Отсюда получаем, что искомая площадь равна