В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AF, BD и CE. Найдите все возможные значения разности углов A и B треугольника, если известно, что DE : EF = BC : AC.

По теореме синусов для треугольника CDE имеем (DE)/(sin DCE) = (DC)/(sin DEC). Далее, поскольку четырёхугольник BCDE вписанный, имеем DEC = DBC. Стало быть, (DE)/(sin DCE) = (DC)/(sin DBC) = BC. Последнее равенство справедливо, поскольку треугольник DBC прямоугольный. Из прямоугольного же треугольника ACE видим, что sin DCE = cos A. Получаем DE = BCsin DCE = BCcos A. Аналогично, EF = ACcos B. Стало быть, (cos A)/(cos B) = (DE* AC)/(BC* EF) = 1. Таким образом, cos A = cos B, откуда A = B. То есть A - B = 0^.

\(0^\circ\)