Задача №17617

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AF\text{,}$ $BD$ и $CE\text{.}$ Найдите все возможные значения разности углов $\angle A$ и $\angle B$ треугольника, если известно, что $DE:EF=BC:AC\text{.}$

По теореме синусов для треугольника $CDE$ имеем

Далее, поскольку четырёхугольник $BCDE$ вписанный, имеем $\angle DEC=\angle DBC\text{.}$ Стало быть,

Последнее равенство справедливо, поскольку треугольник $DBC$ прямоугольный. Из прямоугольного же треугольника $ACE$ видим, что $\sin \angle DCE=\cos \angle A\text{.}$ Получаем

Аналогично, $EF=AC\cos \angle B\text{.}$ Стало быть,

Таким образом, $\cos \angle A=\cos \angle B\text{,}$ откуда $\angle A=\angle B\text{.}$ То есть $\angle A-\angle B=0^{\circ }\text{.}$