Задача №17614

Дана последовательность $a_0,a_1,a_2,\dots$ действительных чисел. Найдите $a_8\text{,}$ если известно, что $a_1=1$ и что для любой пары индексов $n,m\text{,}$ таких что $n⩾m⩾0\text{,}$ справедливо равенство $a_{n+m}+a_{n-m}=2(a_n+a_m)\text{.}$

При $m=0$ имеем $a_n+a_n=2(a_n+a_0)\text{,}$ откуда следует, что $a_0=0\text{.}$ Далее, при $m=n$ имеем $a_{2n}+a_0=2(a_n+a_n)\text{,}$ откуда следует, что $a_{2n}=4a_n$ для любого $n⩾0\text{.}$ Стало быть, $a_8=4^3{a}_1=64\text{.}$