Плоские углы при вершине A тетраэдра ABCD прямые. Двугранные углы при рёбрах BD и CD равны между собой и в два раза больше двугранного угла при ребре BC . Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD = 1 .

По условию плоские углы при вершине A прямые, то есть рёбра AB , AC , AD попарно перпендикулярны. Введём прямоугольную систему координат с началом в A , направив оси по этим рёбрам: A=(0,0,0), B=(b,0,0), C=(0,c,0), D=(0,0,1), где b=AB>0 , c=AC>0 , а AD=1 уже учтено. Поскольку AB,AC,AD взаимно перпендикулярны, объём тетраэдра равен V=(1)/(6)AB* AC* AD=(bc)/(6). 1 Задача сводится к нахождению bc . Двугранный угол при ребре найдём как угол между перпендикулярами к этому ребру, проведёнными в двух гранях. Для ребра с концами P,Q и противолежащими в гранях вершинами X,Y обозначим через u, v составляющие векторов PX,PY , перпендикулярные PQ ; тогда косинус двугранного угла равен ( u* v)/(| u|| v|) . Грань ABC лежит в плоскости z=0 , грань ABD — в плоскости y=0 , грань ACD — в плоскости x=0 . Прямое вычисление даёт следующие косинусы двугранных углов beta (при ребре BC ), (при ребре BD ) и (при ребре CD ): cos=(bsqrt(b^(2)+1))/(sqrt(b^(4)+b^(2)+c^(2)(b^(2)+1)^(2))), cos=(csqrt(c^(2)+1))/(sqrt(c^(4)+c^(2)+b^(2)(c^(2)+1)^(2))). Все три двугранных угла, образованные координатными гранями с гранью BCD , острые (их косинусы положительны), поэтому равенство углов равносильно равенству их косинусов. Шаг 1. Симметрия. Приравняем cos=cos . Так как обе величины положительны, можно приравнять квадраты; после приведения к общему знаменателю числитель разности cos^(2)-cos^(2) пропорционален (b-c)(b+c), а знаменатель положителен. Поскольку b,c>0 , отсюда b-c=0 , то есть b=c. Итак, тетраэдр симметричен относительно плоскости ABD : AB=AC . Шаг 2. Основное уравнение. Положим t=b=c>0 . Тогда =(t)/(sqrt(t^(2)+2)), cos=cos=(1)/(sqrt(t^(2)+2)), где второе равенство получено упрощением (числитель и знаменатель содержат множитель sqrt(t^(2)+1) , так как t^(4)+3t^(2)+2=(t^(2)+1)(t^(2)+2) ). Заметим, что обе грани при рёбрах BD и CD дают один и тот же косинус, что согласуется с симметрией. Условие задачи: =2beta . Так как beta — острый угол, применим формулу двойного угла: cos=cos 2beta=2cos^(2)beta-1=(2t^(2))/(t^(2)+2)-1=(t^(2)-2)/(t^(2)+2). Приравнивая к найденному значению cos=(1)/(sqrt(t^(2)+2)) , получаем (1)/(sqrt(t^(2)+2))=(t^(2)-2)/(t^(2)+2). 2 Шаг 3. Решение уравнения и отбор. Введём u=t^(2)+2 ; тогда u>2 и t^(2)-2=u-4 . Уравнение (2) принимает вид (1)/(sqrt(u))=(u-4)/(u) sqrt(u)=u-4. Левая часть положительна, поэтому необходимо u-4>0 , то есть u>4 (это, в частности, означает t^(2)>2 , что согласуется с тем, что угол beta=()/(2) должен быть меньше 45^() , а — острым). При u>4 обе части положительны, и возведение в квадрат равносильно: u=(u-4)^(2)=u^(2)-8u+16 u^(2)-9u+16=0, откуда u=(9+-sqrt(81-64))/(2)=(9+-sqrt(17))/(2). Корень u=(9-sqrt(17))/(2)~ 2,44 не удовлетворяет условию u>4 (для него правая часть (u-4)/(u)<0 , а левая (1)/( u)>0 ) — он посторонний и отбрасывается. Остаётся u=(9+sqrt(17))/(2), t^(2)=u-2=(5+sqrt(17))/(2). Шаг 4. Объём. По формуле (1) при b=c=t имеем V=(t^(2))/(6) , поэтому V=(1)/(6)*(5+sqrt(17))/(2)=(5+sqrt(17))/(12). Проверка. При t^(2)=(5+sqrt(17))/(2)~ 4,562 получаем =(t)/(sqrt(t^(2)+2))~ 0,8338 , то есть beta~ 33,51^() , и cos=(1)/(sqrt(t^(2)+2))~ 0,3904 , то есть ~ 67,02^()=2beta ; при этом = . Все условия задачи выполнены, V~ 0,760 . Ответ: V=(5+sqrt(17))/(12) .

\dfrac{5+\sqrt{17}}{12}