Задача №17611

Найдите наименьшее значение выражения $x^2-5\pi x+2xy-5\pi y+y^2$ при условии, что $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению

$$\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin y}.$$

Преобразуем минимизируемое выражение. Сгруппировав квадратичные слагаемые и линейные, получаем

$$x^2+2xy+y^2-5\pi (x+y)=(x+y{)}^2-5\pi (x+y).$$

Таким образом, выражение зависит только от суммы $s=x+y\text{:}$

$$f=s^2-5\pi s.$$

Теперь исследуем условие. Само наличие в нём дробей $\frac{1}{\sin x}$ и $\frac{1}{\sin y}$ задаёт область допустимых значений (ОДЗ): требуется $\sin x\ne 0$ и $\sin y\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne \pi k$ и $y\ne \pi m$ при целых $k,m\text{.}$ При этом условии знаменатели $\sin x\text{,}$ $\sin y$ и $\sin x\sin y$ отличны от нуля, и можно умножить обе части равенства на $\sin x\sin y\text{.}$ Получаем равносильное (в ОДЗ) равенство

$$\sin (x+y)=\sin y+\sin x.$$

Преобразуем разность левой и правой частей в произведение. Применяя формулы двойного угла и суммы синусов,

$$\sin (x+y)=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2},\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2},$$

откуда

$$\sin (x+y)-\sin x-\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\left(\cos \frac{x+y}{2}-\cos \frac{x-y}{2}\right)=-4\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2},$$

где на последнем шаге использована формула разности косинусов $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ при $\alpha =\frac{x+y}{2},\beta =\frac{x-y}{2}\text{.}$ Итак, условие принимает вид

$$\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x}{2}\sin \frac{y}{2}=0.$$

Рассмотрим множители $\sin \frac{x}{2}$ и $\sin \frac{y}{2}\text{.}$ Так как $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\text{,}$ из $\sin x\ne 0$ следует $\sin \frac{x}{2}\ne 0\text{;}$ аналогично $\sin y\ne 0$ даёт $\sin \frac{y}{2}\ne 0\text{.}$ Значит, в ОДЗ эти два множителя в нуль не обращаются, и равенство возможно лишь при

$$\sin \frac{x+y}{2}=0⟺\frac{x+y}{2}=\pi n⟺x+y=2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Проверим совместность с ОДЗ. При $x+y=2\pi n$ имеем $y=2\pi n-x\text{,}$ поэтому $\sin y=\sin (2\pi n-x)=-\sin x\text{;}$ значит, $\sin y\ne 0$ равносильно $\sin x\ne 0\text{.}$ Следовательно, для каждого целого $n$ подходит любое $x\ne \pi k$ (например, $x=\frac{\pi }{2}\text{,}$ $y=2\pi n-\frac{\pi }{2}$) — множество значений суммы $s=x+y$ есть в точности $\{2\pi n:n\in \mathbb{Z}\}\text{.}$

Остаётся найти наименьшее значение $f=s^2-5\pi s$ на этом множестве. Подставляя $s=2\pi n\text{:}$

$$f(n)=4{\pi }^2{n}^2-10{\pi }^{2}n=2{\pi }^{2}n(2n-5).$$

Как функция целого аргумента $n\text{,}$ выражение $g(n)=2n^2-5n$ есть парабола с вершиной в точке $n=\frac{5}{4}\text{;}$ ближайшие целые точки — $n=1$ и $n=2\text{.}$ Сравниваем:

$$g(1)=2-5=-3,g(2)=8-10=-2,$$

а в остальных целых точках $g(n)⩾0>-3$ (для $n⩽0$ и $n⩾3$ парабола только растёт по модулю в положительную сторону). Наименьшее значение достигается при $n=1\text{,}$ то есть при $s=x+y=2\pi \text{:}$

$$f_{\min }=2{\pi }^2\cdot 1\cdot (2-5)=-6{\pi }^2.$$

Проверка. Возьмём $x=\frac{\pi }{2},y=\frac{3\pi }{2}\text{:}$ тогда $\sin x=1\ne 0\text{,}$ $\sin y=-1\ne 0\text{,}$ $\sin (x+y)=\sin 2\pi =0\text{;}$ левая часть условия $\frac{0}{1\cdot (-1)}=0\text{,}$ правая $\frac{1}{1}+\frac{1}{-1}=0$ — условие выполнено. При этом $x+y=2\pi$ и $f=(2\pi {)}^2-5\pi \cdot 2\pi =4{\pi }^2-10{\pi }^2=-6{\pi }^2\text{,}$ что совпадает с найденным значением.

Ответ: $-6{\pi }^2\text{.}$