Найдите наименьшее значение выражения x^2 - 5pi x + 2xy - 5pi y + y^2 при условии, что x и y удовлетворяют соотношению (sin(x+y))/(sin x sin y) = (1)/(sin x) + (1)/(sin y).

Преобразуем минимизируемое выражение. Сгруппировав квадратичные слагаемые и линейные, получаем x^2 + 2xy + y^2 - 5pi(x+y) = (x+y)^2 - 5pi(x+y). Таким образом, выражение зависит только от суммы s = x+y : f = s^2 - 5pi s. Теперь исследуем условие. Само наличие в нём дробей (1)/(sin x) и (1)/(sin y) задаёт область допустимых значений (ОДЗ): требуется sin x != 0 и sin y != 0 , то есть x != pi k и y != pi m при целых k,m . При этом условии знаменатели sin x , sin y и sin xsin y отличны от нуля, и можно умножить обе части равенства на sin xsin y . Получаем равносильное (в ОДЗ) равенство sin(x+y) = sin y + sin x. Преобразуем разность левой и правой частей в произведение. Применяя формулы двойного угла и суммы синусов, sin(x+y) = 2sin(x+y)/(2)cos(x+y)/(2), sin x + sin y = 2sin(x+y)/(2)cos(x-y)/(2), откуда sin(x+y) - sin x - sin y = 2sin(x+y)/(2)(cos(x+y)/(2) - cos(x-y)/(2)) = -4sin(x+y)/(2)sin(x)/(2)sin(y)/(2), где на последнем шаге использована формула разности косинусов - = -2sin(alpha+beta)/(2)sin(alpha-beta)/(2) при alpha=(x+y)/(2), beta=(x-y)/(2) . Итак, условие принимает вид sin(x+y)/(2)sin(x)/(2)sin(y)/(2) = 0. Рассмотрим множители sin(x)/(2) и sin(y)/(2) . Так как sin x = 2sin(x)/(2)cos(x)/(2) , из sin x != 0 следует sin(x)/(2) != 0 ; аналогично sin y != 0 даёт sin(y)/(2)!= 0 . Значит, в ОДЗ эти два множителя в нуль не обращаются, и равенство возможно лишь при sin(x+y)/(2) = 0 (x+y)/(2) = pi n x+y = 2pi n, ninZ. Проверим совместность с ОДЗ. При x+y = 2pi n имеем y = 2pi n - x , поэтому sin y = sin(2pi n - x) = -sin x ; значит, sin y != 0 равносильно sin x != 0 . Следовательно, для каждого целого n подходит любое x != pi k (например, x = (pi)/(2) , y = 2pi n - (pi)/(2) ) — множество значений суммы s = x+y есть в точности 2pi n : ninZ . Остаётся найти наименьшее значение f = s^2 - 5pi s на этом множестве. Подставляя s = 2pi n : f(n) = 4pi^2 n^2 - 10pi^2 n = 2pi^2 n(2n-5). Как функция целого аргумента n , выражение g(n) = 2n^2 - 5n есть парабола с вершиной в точке n = (5)/(4) ; ближайшие целые точки — n=1 и n=2 . Сравниваем: g(1) = 2 - 5 = -3, g(2) = 8 - 10 = -2, а в остальных целых точках g(n) 0 > -3 (для n 0 и n 3 парабола только растёт по модулю в положительную сторону). Наименьшее значение достигается при n=1 , то есть при s = x+y = 2pi : f_() = 2pi^2 * 1*(2-5) = -6pi^2. Проверка. Возьмём x = (pi)/(2), y = (3pi)/(2) : тогда sin x = 1!= 0 , sin y = -1!= 0 , sin(x+y)=sin 2pi = 0 ; левая часть условия (0)/(1*(-1)) = 0 , правая (1)/(1)+(1)/(-1)=0 — условие выполнено. При этом x+y = 2pi и f = (2pi)^2 - 5pi* 2pi = 4pi^2 - 10pi^2 = -6pi^2 , что совпадает с найденным значением. Ответ: -6pi^2 .

-6\pi^2