Задача №17609

Решите неравенство ${\log }_{x-\frac{3}{4}}\left(x-\frac{3}{2}\right)⩾\frac{1}{2}\text{.}$

Найдём область допустимых значений. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, а выражение под знаком логарифма — положительным:

Отсюда $x>\frac{3}{2}$ и $x\ne \frac{7}{4}\text{,}$ то есть ОДЗ есть множество $\left(\frac{3}{2},\frac{7}{4}\right)\cup \left(\frac{7}{4},+\infty \right)\text{.}$

Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию: $\frac{1}{2}={\log }_{x-\frac{3}{4}}{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^{1/2}={\log }_{x-\frac{3}{4}}\sqrt{x-\frac{3}{4}}\text{.}$ Неравенство принимает вид

Дальнейший разбор зависит от того, больше или меньше единицы основание; рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{3}{2}<x<\frac{7}{4}\text{.}$ Тогда $0<x-\frac{3}{4}<1\text{,}$ логарифмическая функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

Обе части положительны (на этом промежутке $x-\frac{3}{2}>0$ и $\sqrt{x-\frac{3}{4}}>0$), поэтому возведение в квадрат равносильно:

Пересекая с рассматриваемым промежутком $\left(\frac{3}{2},\frac{7}{4}\right)\text{,}$ который целиком лежит в $[1,3]\text{,}$ получаем весь этот промежуток: $\left(\frac{3}{2},\frac{7}{4}\right)\text{.}$

Случай 2: $x>\frac{7}{4}\text{.}$ Тогда $x-\frac{3}{4}>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, знак неравенства сохраняется:

Снова обе части положительны, возводим в квадрат равносильно:

Пересекая с промежутком $x>\frac{7}{4}\text{,}$ получаем $x⩾3\text{,}$ то есть $[3,+\infty )\text{.}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем ответ

Проверка. При $x=3$ основание равно $\frac{9}{4}\text{,}$ аргумент равен $\frac{3}{2}\text{,}$ и ${\left(\frac{9}{4}\right)}^{1/2}=\frac{3}{2}\text{,}$ значит ${\log }_{9/4}\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ — равенство достигается, точка $x=3$ входит в ответ. На промежутке $\left(\frac{3}{2},\frac{7}{4}\right)$ основание лежит в $(0,1)\text{,}$ а аргумент $x-\frac{3}{2}\in (0,\frac{1}{4})$ меньше единицы, поэтому логарифм положителен, и проверка контрольной точки $x=\frac{8}{5}$ (основание $0,85\text{,}$ аргумент $0,1$) даёт значение около $14,2⩾\frac{1}{2}\text{.}$ На промежутке $\left(\frac{7}{4},3\right)$ основание больше единицы, а аргумент меньше $\sqrt{x-\frac{3}{4}}\text{,}$ и, например, при $x=2$ получаем ${\log }_{5/4}\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}$ — неравенство не выполняется, что согласуется с найденным множеством.