Решите неравенство _(x - (3)/(4))( x - (3)/(2) ) (1)/(2) .

Найдём область допустимых значений. Основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы, а выражение под знаком логарифма — положительным: x - (3)/(4) > 0, x - (3)/(4) != 1, x - (3)/(2) > 0. Отсюда x > (3)/(2) и x != (7)/(4) , то есть ОДЗ есть множество ( (3)/(2), (7)/(4) ) U ( (7)/(4), +inf ) . Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию: (1)/(2) = _(x - (3)/(4)) ( x - (3)/(4) )^(1/2) = _(x - (3)/(4)) sqrt(x - (3)/(4)) . Неравенство принимает вид _(x - (3)/(4))( x - (3)/(2) ) _(x - (3)/(4)) sqrt(x - (3)/(4)). Дальнейший разбор зависит от того, больше или меньше единицы основание; рассмотрим два случая. Случай 1: (3)/(2) < x < (7)/(4) . Тогда 0 < x - (3)/(4) < 1 , логарифмическая функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: x - (3)/(2) sqrt(x - (3)/(4)). Обе части положительны (на этом промежутке x - (3)/(2) > 0 и sqrt(x - (3)/(4)) > 0 ), поэтому возведение в квадрат равносильно: ( x - (3)/(2) )^2 x - (3)/(4) x^2 - 4x + 3 0 (x-1)(x-3) 0 1 x 3. Пересекая с рассматриваемым промежутком ( (3)/(2), (7)/(4) ) , который целиком лежит в [1,3] , получаем весь этот промежуток: ( (3)/(2), (7)/(4) ) . Случай 2: x > (7)/(4) . Тогда x - (3)/(4) > 1 , логарифмическая функция возрастает, знак неравенства сохраняется: x - (3)/(2) sqrt(x - (3)/(4)). Снова обе части положительны, возводим в квадрат равносильно: ( x - (3)/(2) )^2 x - (3)/(4) x^2 - 4x + 3 0 (x-1)(x-3) 0 x 1 или x 3. Пересекая с промежутком x > (7)/(4) , получаем x 3 , то есть [3, +inf) . Объединяя решения обоих случаев, получаем ответ x in ( (3)/(2), (7)/(4) ) U [3, +inf). Проверка. При x = 3 основание равно (9)/(4) , аргумент равен (3)/(2) , и ( (9)/(4) )^(1/2) = (3)/(2) , значит _(9/4) (3)/(2) = (1)/(2) — равенство достигается, точка x=3 входит в ответ. На промежутке ( (3)/(2), (7)/(4) ) основание лежит в (0,1) , а аргумент x - (3)/(2) in (0, 14) меньше единицы, поэтому логарифм положителен, и проверка контрольной точки x = (8)/(5) (основание 0,85 , аргумент 0,1 ) даёт значение около 14,2 (1)/(2) . На промежутке ( (7)/(4), 3 ) основание больше единицы, а аргумент меньше sqrt(x - 34) , и, например, при x = 2 получаем _(5/4) (1)/(2) < 0 < (1)/(2) — неравенство не выполняется, что согласуется с найденным множеством.

x \in \left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{4} \right) \cup [3, +\infty)