Решите уравнение 5+cos4x=6sin2x.
Областью допустимых значений является вся числовая прямая: уравнение не содержит дробей, корней и логарифмов, поэтому никаких ограничений на x нет.
Сведём уравнение к одной тригонометрической функции от аргумента 2x. Воспользуемся формулами понижения степени и двойного угла:
6sin2x=3(1−cos2x)=3−3cos2x,cos4x=2cos22x−1.Подставив их в исходное уравнение, получаем
5+(2cos22x−1)=3−3cos2x,то есть
2cos22x+3cos2x+1=0.Введём замену t=cos2x. Так как −1⩽cos2x⩽1, переменная t пробегает отрезок [−1;1], и относительно t имеем квадратное уравнение
2t2+3t+1=0.Его дискриминант D=9−8=1, поэтому
t=4−3±1,откудаt1=−1,t2=−21.Оба значения принадлежат отрезку [−1;1], значит обратная замена возможна для каждого из них; посторонних корней замена не вносит, так как преобразования были равносильными.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1: cos2x=−1. Это частный случай косинуса, дающий
2x=π+2πk,k∈Z,то естьx=2π+πk,k∈Z.Случай 2: cos2x=−21. Отсюда
2x=±32π+2πk,k∈Z,то естьx=±3π+πk,k∈Z.Серии из случаев 1 и 2 не пересекаются (значения cos2x на них различны: −1 и −21), поэтому объединение даёт все решения.
Проверка. Если cos2x=−1, то cos4x=2cos22x−1=1 и 6sin2x=3−3cos2x=6; тогда 5+1=6 — верно. Если cos2x=−21, то cos4x=2⋅41−1=−21 и 6sin2x=3−3⋅(−21)=29; тогда 5−21=29 — верно.
Ответ:
x=2π+πkилиx=±3π+πk,k∈Z.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ