Решите уравнение 5 + cos 4x = 6sin^2 x .

Областью допустимых значений является вся числовая прямая: уравнение не содержит дробей, корней и логарифмов, поэтому никаких ограничений на x нет. Сведём уравнение к одной тригонометрической функции от аргумента 2x . Воспользуемся формулами понижения степени и двойного угла: 6sin^2 x = 3(1-cos 2x) = 3 - 3cos 2x, cos 4x = 2cos^2 2x - 1. Подставив их в исходное уравнение, получаем 5 + (2cos^2 2x - 1) = 3 - 3cos 2x, то есть 2cos^2 2x + 3cos 2x + 1 = 0. Введём замену t = cos 2x . Так как -1 cos 2x 1 , переменная t пробегает отрезок [-1;1] , и относительно t имеем квадратное уравнение 2t^2 + 3t + 1 = 0. Его дискриминант D = 9 - 8 = 1 , поэтому t = (-3 +- 1)/(4), откуда t_1 = -1, t_2 = -(1)/(2). Оба значения принадлежат отрезку [-1;1] , значит обратная замена возможна для каждого из них; посторонних корней замена не вносит, так как преобразования были равносильными. Рассмотрим оба случая. Случай 1: cos 2x = -1 . Это частный случай косинуса, дающий 2x = pi + 2pi k, k in Z, то есть x = (pi)/(2) + pi k, k in Z. Случай 2: cos 2x = -(1)/(2) . Отсюда 2x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, k in Z, то есть x = +-(pi)/(3) + pi k, k in Z. Серии из случаев 1 и 2 не пересекаются (значения cos 2x на них различны: -1 и -12 ), поэтому объединение даёт все решения. Проверка. Если cos 2x = -1 , то cos 4x = 2cos^2 2x - 1 = 1 и 6sin^2 x = 3 - 3cos 2x = 6 ; тогда 5 + 1 = 6 — верно. Если cos 2x = -12 , то cos 4x = 2*14 - 1 = -12 и 6sin^2 x = 3 - 3*(-12) = 92 ; тогда 5 - 12 = 92 — верно. Ответ: x = (pi)/(2) + pi k или x = +-(pi)/(3) + pi k, k in Z.

x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\ \ x = \pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ \ k \in \mathbb{Z}