Задача №17607

Произведение седьмого и восьмого членов непостоянной арифметической прогрессии равно произведению пятого и девятого её членов. Найдите одиннадцатый член данной прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Прогрессия непостоянна, поэтому $d\ne 0\text{.}$ По формуле общего члена $a_n=a_1+(n-1)d\text{,}$ в частности

Запишем условие $a_7{a}_8=a_5{a}_9$ и раскроем скобки. Имеем

Вычитая из первого равенства второе, получаем

По условию $a_7{a}_8-a_5{a}_9=0\text{,}$ значит $d(a_1+10d)=0\text{.}$ Так как прогрессия непостоянна, $d\ne 0\text{,}$ и на $d$ можно сократить. Отсюда

Но $a_1+10d=a_{11}\text{,}$ поэтому

Заметим, что условие непостоянства существенно: при $d=0$ равенство $a_7{a}_8=a_5{a}_9$ выполнялось бы тождественно при любом $a_1\text{,}$ и одиннадцатый член не был бы определён однозначно. При $d\ne 0$ ответ единствен и от выбора $d$ не зависит: для любой непостоянной прогрессии, удовлетворяющей условию, выполнено $a_1=-10d\text{,}$ откуда $a_{11}=a_1+10d=0\text{.}$