Произведение седьмого и восьмого членов непостоянной арифметической прогрессии равно произведению пятого и девятого её членов. Найдите одиннадцатый член данной прогрессии.

Пусть a_1 — первый член прогрессии, а d — её разность. Прогрессия непостоянна, поэтому d != 0 . По формуле общего члена a_n = a_1 + (n-1)d , в частности a_5 = a_1 + 4d, a_7 = a_1 + 6d, a_8 = a_1 + 7d, a_9 = a_1 + 8d, a_(11) = a_1 + 10d. Запишем условие a_7 a_8 = a_5 a_9 и раскроем скобки. Имеем a_7 a_8 = (a_1 + 6d)(a_1 + 7d) = a_1^2 + 13 a_1 d + 42 d^2, a_5 a_9 = (a_1 + 4d)(a_1 + 8d) = a_1^2 + 12 a_1 d + 32 d^2. Вычитая из первого равенства второе, получаем a_7 a_8 - a_5 a_9 = (a_1^2 + 13 a_1 d + 42 d^2) - (a_1^2 + 12 a_1 d + 32 d^2) = a_1 d + 10 d^2 = d(a_1 + 10d). По условию a_7 a_8 - a_5 a_9 = 0 , значит d(a_1 + 10d) = 0 . Так как прогрессия непостоянна, d != 0 , и на d можно сократить. Отсюда a_1 + 10d = 0. Но a_1 + 10d = a_(11) , поэтому a_(11) = 0. Заметим, что условие непостоянства существенно: при d = 0 равенство a_7 a_8 = a_5 a_9 выполнялось бы тождественно при любом a_1 , и одиннадцатый член не был бы определён однозначно. При d != 0 ответ единствен и от выбора d не зависит: для любой непостоянной прогрессии, удовлетворяющей условию, выполнено a_1 = -10d , откуда a_(11) = a_1 + 10d = 0 .

0