Основание ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' с боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' , DD' является квадратом со стороной sqrt(2) . Известно, что AE D'F , где E — центр грани BCC'B' , F — центр квадрата ABCD . Найдите расстояние между серединами отрезков AE и D'F .

Положим h = AA' . Введём прямоугольную систему координат с центром в A и осями AB , AD и AA' . Тогда AE = ( sqrt(2), (sqrt(2))/(2), (h)/(2) ), D'F = AF - AD' = ( (sqrt(2))/(2), (sqrt(2))/(2), 0 ) - (0, sqrt(2), h) = ( (sqrt(2))/(2), -(sqrt(2))/(2), -h ). Ортогональность этих векторов означает, что 1 - (1)/(2) - (h^2)/(2) = 0 , откуда h = 1 . Стало быть, середины отрезков AE и D'F имеют координаты (1)/(2)AE = ( (sqrt(2))/(2), (sqrt(2))/(4), (1)/(4) ), (1)/(2)( AF + AD' ) = (1)/(2)( (sqrt(2))/(2), (3sqrt(2))/(2), 1 ) = ( (sqrt(2))/(4), (3sqrt(2))/(4), (1)/(2) ). Квадрат расстояния же между этими точками равен ( (sqrt(2))/(4) )^2 + ( (sqrt(2))/(2) )^2 + ( (1)/(4) )^2 = (1)/(8) + (1)/(2) + (1)/(16) = (11)/(16). Стало быть, само расстояние равно (sqrt(11))/(4) .

\frac{\sqrt{11}}{4}