Задача №17605

Основание $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }$ является квадратом со стороной $\sqrt{2}\text{.}$ Известно, что $AE\perp D^{\prime }F\text{,}$ где $E$ — центр грани $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\text{,}$ $F$ — центр квадрата $ABCD\text{.}$ Найдите расстояние между серединами отрезков $AE$ и $D^{\prime }F\text{.}$

Положим $h=A{A}^{\prime }\text{.}$ Введём прямоугольную систему координат с центром в $A$ и осями $AB\text{,}$ $AD$ и $A{A}^{\prime }\text{.}$ Тогда

Ортогональность этих векторов означает, что $1-\frac{1}{2}-\frac{h^2}{2}=0\text{,}$ откуда $h=1\text{.}$ Стало быть, середины отрезков $AE$ и $D^{\prime }F$ имеют координаты

Квадрат расстояния же между этими точками равен

Стало быть, само расстояние равно $\frac{\sqrt{11}}{4}\text{.}$