Задача №17604

Найдите все значения параметра $a$ из интервала $(0,1)\text{,}$ при которых для каждого $x$ из интервала $(0,\pi /4)$ существует не более одного значения $y$ в интервале $(0,\pi /4)\text{,}$ такого что

$$\frac{\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}{\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)}=\frac{\mathrm{tg}(x+y)-\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)}{1+\mathrm{tg}(x+y)\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)}.$$

Будем считать, что $0<a<1\text{,}$ $0<x<\pi /4\text{,}$ $0<y<\pi /4\text{.}$ Тогда значения всех тангенсов определены и никакие знаменатели не обращаются в нуль. Домножая на произведения знаменателей и учитывая, что $\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y}{1-\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}\text{,}$ получаем

$${\mathrm{tg}}^2\left(a(x+y)\right)+\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)\mathrm{tg}(x+y)\left(\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y-1\right)+\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y=0⟺{\mathrm{tg}}^2\left(a(x+y)\right)-\left(\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y\right)\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)+\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y=0⟺\left(\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)-\mathrm{tg}x\right)\left(\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)-\mathrm{tg}y\right)=0⟺[\begin{array}{l}\mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)=\mathrm{tg}x\\ \mathrm{tg}\left(a(x+y)\right)=\mathrm{tg}y\end{array}⟺[\begin{array}{l}a(x+y)=x\\ a(x+y)=y\end{array}⟺[\begin{array}{l}y=\frac{1-a}{a}x\\ y=\frac{a}{1-a}x\end{array}$$

При любом $a\in (0,1)\text{,}$ $a\ne \frac{1}{2}\text{,}$ любому $x\text{,}$ удовлетворяющему $0<x<\min \left(\frac{1-a}{a},\frac{a}{1-a}\right)\cdot \frac{\pi }{4}\text{,}$ будут соответствовать два значения $y$ в интервале $0<y<\pi /4\text{.}$ Если же $a=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем соответствие $y=x\text{,}$ которое взаимно однозначно.