Найдите все значения параметра a из интервала (0, 1) , при которых для каждого x из интервала (0, pi/4) существует не более одного значения y в интервале (0, pi/4) , такого что (tg x tg y)/(tg( a(x+y) )) = (tg(x+y) - tg( a(x+y) ))/(1 + tg(x+y)tg( a(x+y) )).

Будем считать, что 0 < a < 1 , 0 < x < pi/4 , 0 < y < pi/4 . Тогда значения всех тангенсов определены и никакие знаменатели не обращаются в нуль. Домножая на произведения знаменателей и учитывая, что tg(x+y) = (tg x + tg y)/(1 - tg x tg y) , получаем tg^2( a(x+y) ) + tg( a(x+y) )tg(x+y)( tg x tg y - 1 ) + tg x tg y = 0 tg^2( a(x+y) ) - ( tg x + tg y )tg( a(x+y) ) + tg x tg y = 0 ( tg( a(x+y) ) - tg x )( tg( a(x+y) ) - tg y ) = 0 [ arrayl tg( a(x+y) ) = tg x tg( a(x+y) ) = tg y array . [ arrayl a(x+y) = x a(x+y) = y array . [ arrayl y = (1-a)/(a)x y = (a)/(1-a)x array . При любом a in (0, 1) , a != (1)/(2) , любому x , удовлетворяющему 0 < x < ( (1-a)/(a), (a)/(1-a) ) * (pi)/(4) , будут соответствовать два значения y в интервале 0 < y < pi/4 . Если же a = (1)/(2) , получаем соответствие y = x , которое взаимно однозначно.

a = 1/2