Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC , касается его стороны BC в точке D и пересекает стороны AC и AB в точках E и F соответственно. Известно, что AF = 3BF , BD = CD , AE = 2CE и что ED = sqrt(10) . Найдите BC .

Положим x = BF , y = BD . Тогда AB = 4x , BC = 2y . По теореме о касательной и секущей y^2 = 4x^2 , то есть BC = 2y = 4x = AB . Обозначим через L точку пересечения прямых AB и ED . Обозначим также через M и N середины сторон AC и AB соответственно. Треугольники AEL и MED подобны. При этом ME = AE - AM = AE - (1)/(2)AC = AE - (1)/(2) * (3)/(2)AE = (1)/(4)AE . Стало быть, ED = (1)/(4)EL , откуда DL = 3ED = 3sqrt(10) . Кроме того, из того же подобия получаем, что AL = 4MD = 2AB = 8x . Применяя ещё раз теорему о касательной и секущей, получаем 8x * 5x = 4sqrt(10) * 3sqrt(10) , то есть x = sqrt(3) . Стало быть, BC = AB = 4x = 4sqrt(3) .

4\sqrt{3}