Задача №17603

Окружность, проходящая через вершину $A$ треугольника $ABC\text{,}$ касается его стороны $BC$ в точке $D$ и пересекает стороны $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Известно, что $AF=3BF\text{,}$ $BD=CD\text{,}$ $AE=2CE$ и что $ED=\sqrt{10}\text{.}$ Найдите $BC\text{.}$

Положим $x=BF\text{,}$ $y=BD\text{.}$ Тогда $AB=4x\text{,}$ $BC=2y\text{.}$ По теореме о касательной и секущей $y^2=4x^2\text{,}$ то есть $BC=2y=4x=AB\text{.}$

Обозначим через $L$ точку пересечения прямых $AB$ и $ED\text{.}$ Обозначим также через $M$ и $N$ середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Треугольники $AEL$ и $MED$ подобны. При этом $ME=AE-AM=AE-\frac{1}{2}AC=AE-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}AE=\frac{1}{4}AE\text{.}$ Стало быть, $ED=\frac{1}{4}EL\text{,}$ откуда $DL=3ED=3\sqrt{10}\text{.}$ Кроме того, из того же подобия получаем, что $AL=4MD=2AB=8x\text{.}$ Применяя ещё раз теорему о касательной и секущей, получаем $8x\cdot 5x=4\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}\text{,}$ то есть $x=\sqrt{3}\text{.}$ Стало быть, $BC=AB=4x=4\sqrt{3}\text{.}$