Решите неравенство _x ( x^2 + (3)/(2) ) 4 _(x^2 + (3)/(2))(x) .

Задача №17602: Неравенство

Положим $t = lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) .$ Тогда, поскольку

t ⩽ \frac{4}{t} ⟺ \frac{( t - 2 ) ( t + 2 )}{t} ⩽ 0 ⟺ [0 < t ⩽ 2 t ⩽ - 2 ⟺ [\frac{1}{t} ⩾ \frac{1}{2} t ⩽ - 2,

получаем

lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩽ 4 lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x) ⟺ [lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x) ⩾ \frac{1}{2} lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩽ - 2 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 [lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x^{2}) ⩾ 1 lo g_{x^{- 2}} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩾ 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{x ^{2} - ( x ^{2} + \frac{3}{2} )}{( x ^{2} + \frac{3}{2} ) - 1} ⩾ 0 \frac{( x ^{2} + \frac{3}{2} ) - x ^{- 2}}{x ^{- 2} - 1} ⩾ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 x \in \emptyset \frac{x ^{4} + \frac{3}{2} x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{( x ^{2} + 2 ) ( x ^{2} - \frac{1}{2} )}{x ^{2} - 1} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{1}{2} ⩽ x^{2} < 1 ⟺ \frac{1}{2} ⩽ x < 1.

Положим $t = lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) .$ Тогда, поскольку

t ⩽ \frac{4}{t} ⟺ \frac{( t - 2 ) ( t + 2 )}{t} ⩽ 0 ⟺ [0 < t ⩽ 2 t ⩽ - 2 ⟺ [\frac{1}{t} ⩾ \frac{1}{2} t ⩽ - 2,

получаем

lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩽ 4 lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x) ⟺ [lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x) ⩾ \frac{1}{2} lo g_{x} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩽ - 2 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 [lo g_{x^{2} + \frac{3}{2}} (x^{2}) ⩾ 1 lo g_{x^{- 2}} (x^{2} + \frac{3}{2}) ⩾ 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{x ^{2} - ( x ^{2} + \frac{3}{2} )}{( x ^{2} + \frac{3}{2} ) - 1} ⩾ 0 \frac{( x ^{2} + \frac{3}{2} ) - x ^{- 2}}{x ^{- 2} - 1} ⩾ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 x \in \emptyset \frac{x ^{4} + \frac{3}{2} x ^{2} - 1}{x ^{2} - 1} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{( x ^{2} + 2 ) ( x ^{2} - \frac{1}{2} )}{x ^{2} - 1} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{1}{2} ⩽ x^{2} < 1 ⟺ \frac{1}{2} ⩽ x < 1.