Окружность, проходящая через вершины A , B треугольника ABC и центр описанной около этого треугольника окружности, пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найдите угол BCA , если известно, что AB = sqrt(2) , AC = sqrt(3) и что угол BAE в два раза больше угла ABD .

Положим alpha = BCA , beta = ABD . Тогда BAE = 2beta . Обозначим через F точку пересечения AE и BD и через O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Тогда AOB = 2alpha . Поскольку точки A , D , O , E , B лежат на окружности, ADB = AEB = AOB = 2alpha . Далее, из четырёхугольника CDFE DFE = 360^ - FDC - DCE - CEF = 360^ - (180^ - ADF) - DCE - (180^ - BEF) = ADF - DCE + BEF = 2alpha - alpha + 2alpha = 3alpha. Поскольку же угол DFE является внешним углом треугольников BEF и ADF , получаем FBE = 3alpha - 2alpha = alpha и FAD = 3alpha - 2alpha = alpha . Стало быть, сумма углов треугольника ABC равна alpha + (alpha + beta) + (alpha + 2beta) = 3(alpha + beta) . Откуда следует, что ABC = alpha + beta = (1)/(3) * 180^ = 60^ . Применяя теорему синусов, получаем, что sin BCA = sin ABC * AB/AC = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(2))/(sqrt(3)) = (1)/(sqrt(2)) . Поскольку же alpha < alpha + beta = 60^ , заключаем, что alpha = 45^ .

45^\circ