Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Окружность, проходящая через вершины A, B треугольника ABC и центр описанной около этого треугольника окружности, пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найдите угол ∠BCA, если известно, что AB=2, AC=3 и что угол ∠BAE в два раза больше угла ∠ABD.
Положим α=∠BCA, β=∠ABD. Тогда ∠BAE=2β. Обозначим через F точку пересечения AE и BD и через O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда ∠AOB=2α. Поскольку точки A, D, O, E, B лежат на окружности, ∠ADB=∠AEB=∠AOB=2α. Далее, из четырёхугольника CDFE
∠DFE=360∘−∠FDC−∠DCE−∠CEF=360∘−(180∘−∠ADF)−∠DCE−(180∘−∠BEF)=∠ADF−∠DCE+∠BEF=2α−α+2α=3α.Поскольку же угол DFE является внешним углом треугольников BEF и ADF, получаем ∠FBE=3α−2α=α и ∠FAD=3α−2α=α. Стало быть, сумма углов треугольника ABC равна α+(α+β)+(α+2β)=3(α+β). Откуда следует, что ∠ABC=α+β=31⋅180∘=60∘. Применяя теорему синусов, получаем, что sin∠BCA=sin∠ABC⋅AB/AC=23⋅32=21. Поскольку же α<α+β=60∘, заключаем, что α=45∘.