Задача №17593

Сумма второго и восьмого членов возрастающей геометрической прогрессии равна $9\sqrt{2}\text{.}$ Произведение четвёртого, пятого и шестого членов этой прогрессии равно 64. Найдите разность между девятым и первым членами этой прогрессии.

Заметим, что поскольку прогрессия возрастает, её знаменатель положителен. Следовательно, все члены прогрессии имеют одинаковые знаки. Поскольку же сумма второго и восьмого членов положительна, все члены прогрессии являются положительными числами. Пусть $b_1,b_2,\dots ,b_9$ — исследуемая прогрессия. Тогда $b_2+b_8=9\sqrt{2}$ и $b_4{b}_5{b}_6=64\text{.}$ Поскольку $b_2{b}_8=b_4{b}_6=b_5^2\text{,}$ получаем $b_2{b}_8=64^{2/3}=16\text{.}$ Стало быть, либо $b_2=\sqrt{2}\text{,}$ $b_8=8\sqrt{2}\text{,}$ либо $b_2=8\sqrt{2}\text{,}$ $b_8=\sqrt{2}\text{.}$ Поскольку $b_8>b_2\text{,}$ справедлив первый вариант. Знаменатель прогрессии равен $(b_8/b_2{)}^{1/6}=8^{1/6}=\sqrt{2}\text{.}$ Тогда $b_1=1$ и $b_9=16\text{.}$ Искомая разность равна 15.