Сумма второго и восьмого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 9sqrt(2) . Произведение четвёртого, пятого и шестого членов этой прогрессии равно 64. Найдите разность между девятым и первым членами этой прогрессии.

Заметим, что поскольку прогрессия возрастает, её знаменатель положителен. Следовательно, все члены прогрессии имеют одинаковые знаки. Поскольку же сумма второго и восьмого членов положительна, все члены прогрессии являются положительными числами. Пусть b_1, b_2, , b_9 — исследуемая прогрессия. Тогда b_2 + b_8 = 9sqrt(2) и b_4 b_5 b_6 = 64 . Поскольку b_2 b_8 = b_4 b_6 = b_5^2 , получаем b_2 b_8 = 64^(2/3) = 16 . Стало быть, либо b_2 = sqrt(2) , b_8 = 8sqrt(2) , либо b_2 = 8sqrt(2) , b_8 = sqrt(2) . Поскольку b_8 > b_2 , справедлив первый вариант. Знаменатель прогрессии равен (b_8/b_2)^(1/6) = 8^(1/6) = sqrt(2) . Тогда b_1 = 1 и b_9 = 16 . Искомая разность равна 15.

15