Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D' с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' , DD' . Найдите отношение, в котором делит его объём плоскость, проходящая через вершину A , середину ребра BC и середину ребра C'D' .

Обозначим середины рёбер BC и C'D' через M и N соответственно. Продлим AM до пересечения с прямой DC . Получим точку E . Поскольку треугольники ABM и ECM подобны и BM = CM , имеем EC = AB = CD . Продлим EN до пересечения с прямой DD' . Получим точку F . Обозначим также через G точку пересечения EN с CC' и через L — середину CD . Поскольку треугольники ECG , ELN , EDF подобны и ED = 2EC = (4)/(3)EL , имеем DF = 2CG = (4)/(3)LN . Наконец, обозначим через H точку пересечения AF с A'D' . Объём части параллелепипеда, содержащей точку D , равен vol(ADEF) - vol(MCEG) - vol(HD'NF) = vol(ADEF)( 1 - (1)/(2^3) - (1)/(4^3) ) = (55)/(64) * vol(ADEF) = (55)/(64) * 2 * (4)/(3) * vol(ADCD') = (55)/(24) * vol(ADCD') = (55)/(24) * (1)/(6) * V = (55)/(144) * V, где V — объём параллелепипеда. Стало быть, искомое отношение равно 55 : 89 .

55 : 89