Задача №17591

Дан параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с основанием $ABCD$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Найдите отношение, в котором делит его объём плоскость, проходящая через вершину $A\text{,}$ середину ребра $BC$ и середину ребра $C^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$

Обозначим середины рёбер $BC$ и $C^{\prime }{D}^{\prime }$ через $M$ и $N$ соответственно. Продлим $AM$ до пересечения с прямой $DC\text{.}$ Получим точку $E\text{.}$ Поскольку треугольники $ABM$ и $ECM$ подобны и $BM=CM\text{,}$ имеем $EC=AB=CD\text{.}$ Продлим $EN$ до пересечения с прямой $D{D}^{\prime }\text{.}$ Получим точку $F\text{.}$ Обозначим также через $G$ точку пересечения $EN$ с $C{C}^{\prime }$ и через $L$ — середину $CD\text{.}$ Поскольку треугольники $ECG\text{,}$ $ELN\text{,}$ $EDF$ подобны и $ED=2EC=\frac{4}{3}EL\text{,}$ имеем $DF=2CG=\frac{4}{3}LN\text{.}$ Наконец, обозначим через $H$ точку пересечения $AF$ с $A^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$ Объём части параллелепипеда, содержащей точку $D\text{,}$ равен

где $V$ — объём параллелепипеда. Стало быть, искомое отношение равно $55:89\text{.}$