Задача №17590

Найдите все тройки действительных чисел $x,y,z$ из интервала $(0,\pi /2)\text{,}$ удовлетворяющих системе

$$\{\begin{array}{l}\sin x=\sin y-\sin z\cos (x+z)\\ \cos x=\cos z+\cos y\cos (x+y)\end{array}.$$

Поскольку $\sin x=\sin (x+z)\cos z-\cos (x+z)\sin z$ и $\cos x=\cos (x+y)\cos y+\sin (x+y)\sin y\text{,}$ исходная система равносильна системе

$$\{\begin{array}{l}\sin (x+z)\cos z=\sin y\\ \sin (x+y)\sin y=\cos z\end{array}.$$

Поскольку в этих равенствах никакие множители не обращаются в нуль, корректно рассмотреть отношения $\cos z/\sin y$ и $\sin y/\cos z\text{.}$ Оба эти отношения положительны и ограничены единицей, стало быть, они равны 1. Значит, $\sin y=\cos z\ne 0\text{,}$ откуда $\sin (x+y)=\sin (x+z)=1\text{.}$ Ввиду ограничения на $x,y,z\text{,}$ отсюда следует, что $y+z=\pi /2$ и что $x+y=x+z=\pi /2\text{.}$ Стало быть, $x=y=z=\pi /4\text{.}$