В трапеции ABCD основание AB в два раза больше основания CD . Отрезки AL , BM и DK , где K , L , M — соответственно середины сторон AB , BC , AD , ограничивают треугольник площади 1. Найдите площадь трапеции.

Обозначим точки пересечения прямых AL и BM с прямой CD через E и F соответственно. Обозначим также через P точку пересечения AL и DK , через Q — точку пересечения AL и BM , через R — точку пересечения DK и BM . Наконец, пусть h — высота трапеции, h_1 — расстояние от R до прямой AB , h_2 — расстояние от P до прямой AB , и h_3 — расстояние от Q до прямой AB . Заметим, что в силу равенства треугольников ABM и DFM , а также равенства треугольников ABL и ECL , справедливо DF = AB = EC . Учитывая, что AB = 2CD , получаем, что DF/KB = 2, ED/AK = 3, EF/AB = 5/2. Отсюда в силу подобия треугольников DFR и KBR , подобия треугольников EDP и AKP и подобия треугольников EFQ и ABQ , следует, что (h - h_1)/h_1 = 2, (h - h_2)/h_2 = 3, (h - h_3)/h_3 = 5/2. Стало быть, h_1 = h/3 , h_2 = h/4 , h_3 = 2h/7 . Наконец, S( PQR) = S( KBR) + S( AKP) - S( ABQ) = (1)/(2)( KB * h_1 + AK * h_2 - AB * h_3 ) = (AB)/(2)( h_1/2 + h_2/2 - h_3 ) = (AB * h)/(2)( 1/6 + 1/8 - 2/7 ) = (43 * AB+CD2 * h)/(2) * (28 + 21 - 48)/(3 * 8 * 7) = (AB+CD)/(2) * h * (1)/(9 * 4 * 7) = (S(ABCD))/(252). Здесь мы воспользовались тем, что (AB+CD)/(2) = (3)/(4) AB . Итак, S(ABCD) = 252 .

252