Задача №17589

В трапеции $ABCD$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD\text{.}$ Отрезки $AL\text{,}$ $BM$ и $DK\text{,}$ где $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M$ — соответственно середины сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $AD\text{,}$ ограничивают треугольник площади 1. Найдите площадь трапеции.

Обозначим точки пересечения прямых $AL$ и $BM$ с прямой $CD$ через $E$ и $F$ соответственно. Обозначим также через $P$ точку пересечения $AL$ и $DK\text{,}$ через $Q$ — точку пересечения $AL$ и $BM\text{,}$ через $R$ — точку пересечения $DK$ и $BM\text{.}$ Наконец, пусть $h$ — высота трапеции, $h_1$ — расстояние от $R$ до прямой $AB\text{,}$ $h_2$ — расстояние от $P$ до прямой $AB\text{,}$ и $h_3$ — расстояние от $Q$ до прямой $AB\text{.}$ Заметим, что в силу равенства треугольников $ABM$ и $DFM\text{,}$ а также равенства треугольников $ABL$ и $ECL\text{,}$ справедливо $DF=AB=EC\text{.}$ Учитывая, что $AB=2CD\text{,}$ получаем, что

Отсюда в силу подобия треугольников $DFR$ и $KBR\text{,}$ подобия треугольников $EDP$ и $AKP$ и подобия треугольников $EFQ$ и $ABQ\text{,}$ следует, что

Стало быть, $h_1=h/3\text{,}$ $h_2=h/4\text{,}$ $h_3=2h/7\text{.}$ Наконец,

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{AB+CD}{2}=\frac{3}{4}AB\text{.}$ Итак, $S(ABCD)=252\text{.}$