Решите неравенство _(sqrt(x)) | (3x)/(x-4) | 4 .

Задача №17588: Неравенство

Решите неравенство $lo g_{x} \frac{3 x}{x - 4} ⩽ 4 .$

Заметим, что $x > 0,$ $x \neq = 1,$ $x \neq = 4 .$ Тогда

lo g_{x} \frac{3 x}{x - 4} ⩽ 4 ⟺ lo g_{x} \frac{3 x}{∣ x - 4∣} ⩽ 2 ⟺ \frac{ln \frac{3 x}{∣ x - 4∣} - ln x ^{2}}{ln x} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{3 x - x ^{2} ∣ x - 4∣}{∣ x - 4∣ ( x - 1 )} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{3 - x ∣ x - 4∣}{∣ x - 4∣ ( x - 1 )} ⩽ 0 ⟺ {x > 4 x^{2} - 4 x - 3 ⩾ 0 ⎩ ⎨ ⎧ 0 < x < 4 \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} ⩽ 0 ⟺ x ⩾ 2 + 7 ⎩ ⎨ ⎧ 0 < x < 4 \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} ⩽ 0 ⟺ x ⩾ 2 + 7 0 < x < 1 1 < x ⩽ 3

Решите неравенство $lo g_{x} \frac{3 x}{x - 4} ⩽ 4 .$

Заметим, что $x > 0,$ $x \neq = 1,$ $x \neq = 4 .$ Тогда

lo g_{x} \frac{3 x}{x - 4} ⩽ 4 ⟺ lo g_{x} \frac{3 x}{∣ x - 4∣} ⩽ 2 ⟺ \frac{ln \frac{3 x}{∣ x - 4∣} - ln x ^{2}}{ln x} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{3 x - x ^{2} ∣ x - 4∣}{∣ x - 4∣ ( x - 1 )} ⩽ 0 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0 \frac{3 - x ∣ x - 4∣}{∣ x - 4∣ ( x - 1 )} ⩽ 0 ⟺ {x > 4 x^{2} - 4 x - 3 ⩾ 0 ⎩ ⎨ ⎧ 0 < x < 4 \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x - 1} ⩽ 0 ⟺ x ⩾ 2 + 7 ⎩ ⎨ ⎧ 0 < x < 4 \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{x - 1} ⩽ 0 ⟺ x ⩾ 2 + 7 0 < x < 1 1 < x ⩽ 3