Высота правильной треугольной призмы ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' равна 1. Найдите длину ребра основания, если известно, что AB' BC' .

Достроим треугольники ABC и A'B'C' до параллелограммов ABCD и A'B'C'D' . В получившемся параллелепипеде ABCDA'B'C'D' имеем AB DC и AB = DC , а также AB' DC' и AB' = DC' . Поскольку призма правильная, AB' = BC' . Стало быть, треугольник BDC' прямоугольный и равнобедренный. Пусть длина ребра основания равна a и пусть M — точка пересечения AC и BD . Тогда CM = a/2 , C'M = BM = asqrt(3)/2 и CC' = 1 . По теореме Пифагора получаем 1 + a^2/4 = 3a^2/4 , откуда a^2 = 2 , то есть a = sqrt(2) .

\sqrt{2}