Задача №17584

Высота правильной треугольной призмы $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ равна 1. Найдите длину ребра основания, если известно, что $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }\text{.}$

Достроим треугольники $ABC$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ до параллелограммов $ABCD$ и $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\text{.}$ В получившемся параллелепипеде $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ имеем $AB\parallel DC$ и $AB=DC\text{,}$ а также $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ и $A{B}^{\prime }=D{C}^{\prime }\text{.}$ Поскольку призма правильная, $A{B}^{\prime }=B{C}^{\prime }\text{.}$ Стало быть, треугольник $BD{C}^{\prime }$ прямоугольный и равнобедренный. Пусть длина ребра основания равна $a$ и пусть $M$ — точка пересечения $AC$ и $BD\text{.}$ Тогда $CM=a/2\text{,}$ $C^{\prime }M=BM=a\sqrt{3}/2$ и $C{C}^{\prime }=1\text{.}$ По теореме Пифагора получаем $1+a^2/4=3a^2/4\text{,}$ откуда $a^2=2\text{,}$ то есть $a=\sqrt{2}\text{.}$