Задача №17583

Найдите все пары действительных чисел $x,y\text{,}$ удовлетворяющих соотношению

$$\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy}=2\sqrt{2-\sqrt{xy}}\cdot \sqrt[4]{xy}.$$

Для левой части ввиду неравенства между средними имеем

$$\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{1}{xy}⩾2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2xy}}⩾2.$$

Первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда $(x^2+y^2)/2=1/(xy)\text{,}$ второе — тогда и только тогда, когда $x^2+y^2=2xy\text{.}$ То есть оба неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда $x=y=\pm 1\text{.}$

Для правой части исходного равенства имеем

$$2\sqrt{2-\sqrt{xy}}\cdot \sqrt[4]{xy}=2\sqrt{2\sqrt{xy}-xy}=2\sqrt{1-(1-\sqrt{xy}{)}^2}⩽2,$$

где равенство достигается тогда и только тогда, когда $xy=1\text{.}$

Таким образом, исходное равенство реализуется только для $x=y=1$ и $x=y=-1\text{.}$