Найдите все пары действительных чисел x, y , удовлетворяющих соотношению (x^2 + y^2)/(2) + (1)/(xy) = 2sqrt(2 - xy) * [4]xy.

Для левой части ввиду неравенства между средними имеем (x^2 + y^2)/(2) + (1)/(xy) 2sqrt((x^2 + y^2)/(2xy)) 2. Первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда (x^2 + y^2)/2 = 1/(xy) , второе — тогда и только тогда, когда x^2 + y^2 = 2xy . То есть оба неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда x = y = +- 1 . Для правой части исходного равенства имеем 2sqrt(2 - xy) * [4]xy = 2sqrt(2xy - xy) = 2sqrt(1 - (1 - xy)^2) 2, где равенство достигается тогда и только тогда, когда xy = 1 . Таким образом, исходное равенство реализуется только для x = y = 1 и x = y = -1 .

x = y = 1,\ x = y = -1