В пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом alpha и стороной sqrt(6) , вписана сфера диаметра 1. Найдите угол alpha , если известно, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом 60^ .

Пусть S — вершина пирамиды, O — центр вписанной сферы и H — основание высоты пирамиды, опущенной из S . Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, точка H совпадает с точкой пересечения диагоналей основания, а точка O лежит на SH . Стало быть, если P — основание перпендикуляра, опущенного из S на одно из рёбер основания, то SPH = 60^ и PH = OH ctg( (1)/(2) SPH ) = (1)/(2)sqrt(3) . Значит, высота ромба равна 2PH = sqrt(3) и sin alpha равен отношению высоты ромба к его стороне, то есть sin alpha = sqrt(3)/sqrt(6) = 1/sqrt(2) . Стало быть, поскольку угол острый, он равен 45^ .

45^\circ