Задача №17577

В пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом $\alpha$ и стороной $\sqrt{6}\text{,}$ вписана сфера диаметра 1. Найдите угол $\alpha \text{,}$ если известно, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом $60^{\circ }\text{.}$

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр вписанной сферы и $H$ — основание высоты пирамиды, опущенной из $S\text{.}$ Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, точка $H$ совпадает с точкой пересечения диагоналей основания, а точка $O$ лежит на $SH\text{.}$ Стало быть, если $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из $S$ на одно из рёбер основания, то $\angle SPH=60^{\circ }$ и $PH=OH\mathrm{ctg}\left(\frac{1}{2}\angle SPH\right)=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}$ Значит, высота ромба равна $2PH=\sqrt{3}$ и $\sin \alpha$ равен отношению высоты ромба к его стороне, то есть $\sin \alpha =\sqrt{3}/\sqrt{6}=1/\sqrt{2}\text{.}$ Стало быть, поскольку угол острый, он равен $45^{\circ }\text{.}$