Задача №17576

Найдите все возможные значения произведения $xy\text{,}$ если известно, что $x,y\in [0,\pi /2)$ и справедливо

$$\frac{1-\sin (x-y)}{1-\cos (x-y)}=\frac{1-\sin (x+y)}{1-\cos (x+y)}.$$

При заданных ограничениях на $x$ и $y$ знаменатели не равны нулю тогда и только тогда, когда $x\ne y\text{.}$

Заметим, что при $x,y\in [0,\pi /2)$ справедливо

$$\cos (x-y)⩾\cos (x+y).$$

Действительно, $\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y⩾\cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos (x+y)$ ввиду неотрицательности $\sin x\sin y\text{.}$ Аналогично, поскольку $\sin x\cos y+\cos x\sin y⩾\sin x\cos y-\cos x\sin y\text{,}$ справедливо

$$\sin (x+y)⩾\sin (x-y).$$

Таким образом,

$$\frac{1-\sin (x-y)}{1-\cos (x-y)}⩾\frac{1-\sin (x+y)}{1-\cos (x+y)}$$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда равны и числители, и знаменатели, то есть когда

$$\sin x\sin y=\cos x\sin y=0.$$

Поскольку $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно обращаться в 0, справедливо $\sin y=0\text{,}$ откуда $y=0\text{.}$ Остаётся заметить, что при $y=0$ исходное равенство выполняется при любом $x\in (0,\pi /2)\text{.}$