Найдите все возможные значения произведения xy , если известно, что x, y in [0, pi/2) и справедливо (1 - sin(x-y))/(1 - cos(x-y)) = (1 - sin(x+y))/(1 - cos(x+y)).

При заданных ограничениях на x и y знаменатели не равны нулю тогда и только тогда, когда x != y . Заметим, что при x, y in [0, pi/2) справедливо cos(x-y) cos(x+y). Действительно, cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y cos x cos y - sin x sin y = cos(x+y) ввиду неотрицательности sin x sin y . Аналогично, поскольку sin x cos y + cos x sin y sin x cos y - cos x sin y , справедливо sin(x+y) sin(x-y). Таким образом, (1 - sin(x-y))/(1 - cos(x-y)) (1 - sin(x+y))/(1 - cos(x+y)) и равенство достигается тогда и только тогда, когда равны и числители, и знаменатели, то есть когда sin x sin y = cos x sin y = 0. Поскольку sin x и cos x не могут одновременно обращаться в 0, справедливо sin y = 0 , откуда y = 0 . Остаётся заметить, что при y = 0 исходное равенство выполняется при любом x in (0, pi/2) .

xy = 0