На диагонали AC параллелограмма ABCD как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. При этом AM = MB и CN = 2NB . Найдите тангенс острого угла параллелограмма ABCD .

Поскольку вершина B находится вне окружности, при ней угол острый. Обозначим его alpha . Пусть O — центр окружности. Тогда, поскольку OM — средняя линия в треугольнике ABC , имеем BC = 2OM = 2OA = AC , откуда BAC = ABC = alpha . Далее, поскольку AC — диаметр, ANC = 90^ . Стало быть, cos ACB = (CN)/(AC) = (23BC)/(AC) = (2)/(3). Тогда sin^2 alpha = (1 - cos 2alpha)/(2) = (1 - cos(pi - ACB))/(2) = (1 + 2/3)/(2) = (5)/(6). Отсюда cos^2 alpha = 1/6 и tg^2 alpha = 5 . Поскольку угол острый, получаем tg alpha = sqrt(5) .

\sqrt{5}