Задача №17572

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии в два раза больше разности между первым и четвёртым её членами. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что сумма первых семи её членов равна 127.

Обозначим через $b$ и $q$ соответственно первый член прогрессии и её знаменатель. Тогда по условию $b(1+q+q^2)=2b(1-q^3)\text{.}$ Отсюда, сокращая на $b(1+q+q^2)$ (это действие корректно, ибо $b\ne 0\text{,}$ поскольку иначе сумма любого количества членов прогрессии равна нулю), получаем $q=1/2\text{.}$ Для суммы первых семи членов прогрессии имеем $b(1-q^7)/(1-q)=127\text{,}$ то есть $b(2^7-1)/2^6=127$ и $b=2^6=64\text{.}$