Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии в два раза больше разности между первым и четвёртым её членами. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что сумма первых семи её членов равна 127.

Обозначим через b и q соответственно первый член прогрессии и её знаменатель. Тогда по условию b(1 + q + q^2) = 2b(1 - q^3) . Отсюда, сокращая на b(1 + q + q^2) (это действие корректно, ибо b != 0 , поскольку иначе сумма любого количества членов прогрессии равна нулю), получаем q = 1/2 . Для суммы первых семи членов прогрессии имеем b(1 - q^7)/(1 - q) = 127 , то есть b(2^7 - 1)/2^6 = 127 и b = 2^6 = 64 .

64