Задача №17568

Середины сторон выпуклого четырёхугольника $ABCD$ лежат на окружности. Известно, что $AB=1\text{,}$ $BC=4\text{,}$ $CD=8\text{.}$ Найдите $AD\text{.}$

Обозначим середины сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ через $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{,}$ $D_1$ соответственно. Четырёхугольник $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ является параллелограммом, ибо отрезки $A_1{B}_1$ и $C_1{D}_1$ параллельны $AC\text{,}$ будучи средними линиями в треугольниках $ABC$ и $CDA\text{,}$ и, аналогично, $A_1{D}_1\parallel BD\parallel B_1{C}_1\text{.}$ Поскольку этот параллелограмм вписан в окружность, он является прямоугольником. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ исходного четырёхугольника перпендикулярны. Обозначим через $X$ точку их пересечения. Тогда $A{B}^2+C{D}^2=A{X}^2+B{X}^2+C{X}^2+D{X}^2=B{C}^2+A{D}^2\text{.}$ Отсюда получаем $A{D}^2=A{B}^2+C{D}^2-B{C}^2=1+64-16=49\text{.}$ Стало быть, $AD=7\text{.}$