Середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD лежат на окружности. Известно, что AB = 1 , BC = 4 , CD = 8 . Найдите AD .

Обозначим середины сторон AB , BC , CD , DA через A_1 , B_1 , C_1 , D_1 соответственно. Четырёхугольник A_1B_1C_1D_1 является параллелограммом, ибо отрезки A_1B_1 и C_1D_1 параллельны AC , будучи средними линиями в треугольниках ABC и CDA , и, аналогично, A_1D_1 BD B_1C_1 . Поскольку этот параллелограмм вписан в окружность, он является прямоугольником. Следовательно, диагонали AC и BD исходного четырёхугольника перпендикулярны. Обозначим через X точку их пересечения. Тогда AB^2 + CD^2 = AX^2 + BX^2 + CX^2 + DX^2 = BC^2 + AD^2 . Отсюда получаем AD^2 = AB^2 + CD^2 - BC^2 = 1 + 64 - 16 = 49 . Стало быть, AD = 7 .

7