Задача №17563

Дан параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с основаниями $ABCD\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Все рёбра параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине $B$ также равны. Известно, что центр сферы, описанной около тетраэдра $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }\text{,}$ лежит в плоскости $A{B}^{\prime }C\text{.}$ Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.

Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине $B$ равны, равны также и плоские углы при вершине $D^{\prime }\text{.}$ Стало быть, $A{D}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=C{D}^{\prime }$ как равные диагонали ромбов и, по той же причине, $A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC\text{.}$ Таким образом, центр сферы, описанной около тетраэдра $A{B}^{\prime }C{D}^{\prime }\text{,}$ является центром окружности, описанной около правильного треугольника $A{B}^{\prime }C\text{,}$ а также является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины $D^{\prime }\text{.}$ Отсюда получаем $A{B}^{\prime }=2\sqrt{3}\text{,}$ $A{D}^{\prime }=2\sqrt{2}\text{.}$ Итак, диагонали ромба равны $2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{2}\text{,}$ значит, его сторона равна $\sqrt{5}\text{.}$