Дан параллелепипед ABCDA'B'C'D' с основаниями ABCD , A'B'C'D' и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' , DD' . Все рёбра параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине B также равны. Известно, что центр сферы, описанной около тетраэдра AB'CD' , лежит в плоскости AB'C . Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.

Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине B равны, равны также и плоские углы при вершине D' . Стало быть, AD' = B'D' = CD' как равные диагонали ромбов и, по той же причине, AB' = B'C = AC . Таким образом, центр сферы, описанной около тетраэдра AB'CD' , является центром окружности, описанной около правильного треугольника AB'C , а также является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины D' . Отсюда получаем AB' = 2sqrt(3) , AD' = 2sqrt(2) . Итак, диагонали ромба равны 2sqrt(3) и 2sqrt(2) , значит, его сторона равна sqrt(5) .

\( \sqrt{5} \)