Найдите все пары действительных чисел (x, y) , удовлетворяющих равенству (pi)/(2) - arcsin( 1 + _2( x^2 + y^2 ) ) = 1 + _2(xy).

Арксинус определён на отрезке [-1, 1] и принимает значения на отрезке [-pi/2, pi/2] . Значит, левая часть исходного равенства принимает лишь неотрицательные значения, а x , y должны удовлетворять неравенству _2( x^2 + y^2 ) 0 . Но тогда для правой части имеем 1 + _2(xy) = _2(2xy) _2( x^2 + y^2 ) 0, причём первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда x = y , а второе — когда x^2 + y^2 = 1 . Получаем x = y = +- 1/sqrt(2) . Остаётся убедиться, что при таких значениях x , y обе части исходного равенства обращаются в 0.

\( x = y = \pm 1/\sqrt{2} \)