Задача №17562

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)\text{,}$ удовлетворяющих равенству

$$\frac{\pi }{2}-\arcsin \left(1+{\log }_2\left(x^2+y^2\right)\right)=1+{\log }_2(xy).$$

Арксинус определён на отрезке $[-1,1]$ и принимает значения на отрезке $[-\pi /2,\pi /2]\text{.}$ Значит, левая часть исходного равенства принимает лишь неотрицательные значения, а $x\text{,}$ $y$ должны удовлетворять неравенству ${\log }_2\left(x^2+y^2\right)⩽0\text{.}$ Но тогда для правой части имеем

$$1+{\log }_2(xy)={\log }_2(2xy)⩽{\log }_2\left(x^2+y^2\right)⩽0,$$

причём первое неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда $x=y\text{,}$ а второе — когда $x^2+y^2=1\text{.}$ Получаем $x=y=\pm 1/\sqrt{2}\text{.}$ Остаётся убедиться, что при таких значениях $x\text{,}$ $y$ обе части исходного равенства обращаются в 0.