Задача №17561

Окружность ${\Omega }_1$ с центром $O_1$ пересекает окружность ${\Omega }_2$ с центром $O_2$ в точках $A$ и $B\text{.}$ При этом точки $O_1$ и $O_2$ лежат вне ${\Omega }_2$ и ${\Omega }_1$ соответственно. Касательная к окружности ${\Omega }_2$ в точке $A$ пересекает ${\Omega }_1$ в точках $A$ и $C\text{.}$ Касательная к окружности ${\Omega }_1$ в точке $A$ пересекает ${\Omega }_2$ в точках $A$ и $D\text{.}$ Найдите угол между прямыми $O_{1}C$ и $O_{2}D\text{,}$ если известно, что $\angle A{O}_{1}B=36^{\circ }$ и $\angle A{O}_{2}B=64^{\circ }\text{.}$

Заметим, что $\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A{O}_{1}B=18^{\circ }$ и, аналогично, $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A{O}_{2}B=32^{\circ }\text{.}$ Далее, $\angle DA{O}_2=90^{\circ }-(\angle BAD+\angle BAC)=40^{\circ }$ и $\angle CA{O}_1=90^{\circ }-(\angle BAD+\angle BAC)=40^{\circ }\text{.}$ Поскольку треугольники $CA{O}_1$ и $DA{O}_2$ равнобедренные, $\angle AC{O}_1=\angle CA{O}_1=40^{\circ }$ и $\angle AD{O}_2=\angle DA{O}_2=40^{\circ }\text{.}$ Поскольку $\angle AC{O}_1>\angle BAC\text{,}$ точка пересечения прямой $O_{1}C$ с прямой $AB$ лежит за точкой $B\text{.}$ Аналогично, поскольку $\angle AD{O}_2>\angle BAD\text{,}$ точка пересечения прямой $O_{2}D$ с прямой $AB$ лежит за точкой $B\text{.}$ Стало быть, искомый угол равен $\angle AC{O}_1-(\angle BAD+\angle BAC)+\angle AD{O}_2=40^{\circ }-50^{\circ }+40^{\circ }=30^{\circ }\text{.}$