Окружность _1 с центром O_1 пересекает окружность _2 с центром O_2 в точках A и B . При этом точки O_1 и O_2 лежат вне _2 и _1 соответственно. Касательная к окружности _2 в точке A пересекает _1 в точках A и C . Касательная к окружности _1 в точке A пересекает _2 в точках A и D . Найдите угол между прямыми O_1C и O_2D , если известно, что AO_1B = 36^ и AO_2B = 64^ .

Заметим, что BAD = (1)/(2) AO_1B = 18^ и, аналогично, BAC = (1)/(2) AO_2B = 32^ . Далее, DAO_2 = 90^ - ( BAD + BAC) = 40^ и CAO_1 = 90^ - ( BAD + BAC) = 40^ . Поскольку треугольники CAO_1 и DAO_2 равнобедренные, ACO_1 = CAO_1 = 40^ и ADO_2 = DAO_2 = 40^ . Поскольку ACO_1 > BAC , точка пересечения прямой O_1C с прямой AB лежит за точкой B . Аналогично, поскольку ADO_2 > BAD , точка пересечения прямой O_2D с прямой AB лежит за точкой B . Стало быть, искомый угол равен ACO_1 - ( BAD + BAC) + ADO_2 = 40^ - 50^ + 40^ = 30^ .

\( 30^\circ \)