Сфера касается всех рёбер тетраэдра ABCD . Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что AB = 3 , BC = 1 . Найдите AC .

Расстояния от вершины A до точек касания сферы с рёбрами AB , AC , AD равны. Обозначим это расстояние a . Соответствующие расстояния от вершин B , C , D обозначим b , c , d соответственно. Тогда (a+b)(c+d) = (a+c)(b+d) = (a+d)(b+c) , откуда (a-c)(b-d) = 0 и (a-b)(c-d) = 0. Если a = c , то AB = BC , а это не так. Значит, b = d . Тогда либо a = b , либо c = b . Если a = b , то AC = BC = 1 , что противоречит неравенству треугольника. Значит, c = b и, стало быть, AC = AB = 3 .

3