Задача №17556

Сфера касается всех рёбер тетраэдра $ABCD\text{.}$ Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что $AB=3\text{,}$ $BC=1\text{.}$ Найдите $AC\text{.}$

Расстояния от вершины $A$ до точек касания сферы с рёбрами $AB\text{,}$ $AC\text{,}$ $AD$ равны. Обозначим это расстояние $a\text{.}$ Соответствующие расстояния от вершин $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ обозначим $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ соответственно. Тогда $(a+b)(c+d)=(a+c)(b+d)=(a+d)(b+c)\text{,}$ откуда

Если $a=c\text{,}$ то $AB=BC\text{,}$ а это не так. Значит, $b=d\text{.}$ Тогда либо $a=b\text{,}$ либо $c=b\text{.}$ Если $a=b\text{,}$ то $AC=BC=1\text{,}$ что противоречит неравенству треугольника. Значит, $c=b$ и, стало быть, $AC=AB=3\text{.}$