Задача №17555

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y\text{,}$ удовлетворяющие неравенству

$${\log }_{x^2-y}\left(x-y^2+\frac{7}{4}\right)⩾1.$$

При $y<x^2-1$ неравенство равносильно $x-y^2+\frac{7}{4}⩾x^2-y\text{,}$ то есть

$$(x-1/2{)}^2+(y-1/2{)}^2⩽(3/2{)}^2.$$

Это неравенство задаёт круг с центром $(1/2,1/2)$ и радиусом $3/2\text{.}$ Самая нижняя точка имеет координаты $(1/2,-1)$ и удовлетворяет ограничению $y<x^2-1\text{.}$

При $y>x^2-1$ для каждой пары $(x,y)\text{,}$ удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y>-1\text{.}$

Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1/2,-1)\text{.}$