Задача №17554

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD\text{.}$ Известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD\text{,}$ касаются диагонали $AC$ в одной и той же точке. При этом точка касания первой окружности со стороной $BC$ делит эту сторону пополам. Найдите отношение, в котором точка касания второй окружности со стороной $AD$ делит эту сторону, считая от точки $A\text{.}$

Обозначим через $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ $O$ точки касания окружностей с отрезками $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $AD\text{,}$ $AC$ соответственно. Не ограничивая общности, можно считать, что $BL=1\text{.}$ Тогда $BK=BL=CL=CO=CM=1\text{.}$ Положим $AN=x$ и $DN=y\text{.}$ Тогда $AK=AO=AN=x$ и $DN=DM=y\text{.}$ Искомое отношение равно $x:y\text{.}$ Заметим сразу, что $x+y=AD=BC=2\text{.}$ Опустим высоту $CH\text{.}$ Тогда $A{C}^2-A{H}^2=C{H}^2=B{C}^2-B{H}^2\text{.}$ При этом $AC=x+1\text{,}$ $AH=(AB+CD)/2=(x+y+2)/2=2\text{,}$ $BC=2\text{,}$ $BH=(AB-CD)/2=(x-y)/2=(x-(2-x))/2=x-1\text{.}$ Стало быть,

Тогда $x=\sqrt{3}\text{,}$ $y=2-\sqrt{3}$ и $x/y=\sqrt{3}/(2-\sqrt{3})=3+2\sqrt{3}\text{.}$