Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AB и CD . Известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD , касаются диагонали AC в одной и той же точке. При этом точка касания первой окружности со стороной BC делит эту сторону пополам. Найдите отношение, в котором точка касания второй окружности со стороной AD делит эту сторону, считая от точки A .

Обозначим через K , L , M , N , O точки касания окружностей с отрезками AB , BC , CD , AD , AC соответственно. Не ограничивая общности, можно считать, что BL = 1 . Тогда BK = BL = CL = CO = CM = 1 . Положим AN = x и DN = y . Тогда AK = AO = AN = x и DN = DM = y . Искомое отношение равно x : y . Заметим сразу, что x + y = AD = BC = 2 . Опустим высоту CH . Тогда AC^2 - AH^2 = CH^2 = BC^2 - BH^2 . При этом AC = x + 1 , AH = (AB + CD)/2 = (x + y + 2)/2 = 2 , BC = 2 , BH = (AB - CD)/2 = (x - y)/2 = (x - (2 - x))/2 = x - 1 . Стало быть, AC^2 - AH^2 = BC^2 - BH^2 (x+1)^2 - 4 = 4 - (x-1)^2 x^2 = 3. Тогда x = sqrt(3) , y = 2 - sqrt(3) и x/y = sqrt(3)/(2 - sqrt(3)) = 3 + 2sqrt(3) .

\( (3 + 2\sqrt{3}) : 1 \)