Дан тетраэдр ABCD . Известно, что центр сферы, описанной около этого тетраэдра, лежит на AB , что плоскости ABC и ABD перпендикулярны и что AD = DC = CB . Найдите угол между прямыми AD и CB .

Сразу отметим, что, поскольку центр сферы, описанной около тетраэдра, лежит на AB , углы ACB и ADB — прямые. Далее, опустим перпендикуляры CK и CL на AB и BD соответственно. Тогда DL = LB , ибо DC = CB , следовательно, KL — серединный перпендикуляр к BD в плоскости ABD и, поскольку ADB = 90^ , точка K является серединой AB . Значит, AC = BC . Аналогично, AD = BD . Итак, AC = BC = AD = BD = CD , AB CK , AB DK , AK = BK = CK = DK . Пусть E — точка, симметричная точке C относительно K . Тогда AK EK DK и AK = EK = DK . Следовательно, треугольник ADE — равносторонний. При этом AE CB . Стало быть, искомый угол равен углу EAD и равен 60^ .

\( 60^\circ \)