Задача №17548

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

имеет ровно одно решение.

Заметим, что $3\pm 2x-x^2=2^2-(x\mp 1{)}^2\text{.}$ Стало быть, графики функций $\sqrt{3+2x-x^2}$ и $\sqrt{3-2x-x^2}$ — верхние половины окружностей радиуса 2 с центрами в точках $(1,0)$ и $(-1,0)$ соответственно. График же функции $\sqrt{a-x^2}$ — верхняя половина окружности радиуса $\sqrt{a}$ с центром в точке $(0,0)\text{.}$ Первые две полуокружности имеют одну общую точку — $(0,\sqrt{3})\text{.}$ При этом ОДЗ $x$ является пересечением отрезков $[-1,1]$ и $[-\sqrt{a},\sqrt{a}]\text{.}$ Соответственно, при $a<1$ третья полуокружность первые две не пересекает и решение будет одно. При $1⩽a⩽5$ третья полуокружность пересекает первые две в точках с абсциссами из отрезка $[-1,1]$ и точки пересечения совпадают только при $a=3\text{.}$ При $a>5$ третья полуокружность либо пересекает первые две в точках с абсциссами по модулю большими 1, либо не пересекает вообще. Стало быть, решение будет единственным при $a\in [0,1)\cup \{3\}\cup (5,+\infty )\text{.}$