На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки K и L соответственно. Известно, что AB = BC = 1 , что площади треугольников AKC и BCL равны и что около четырёхугольника AKML , где M — точка пересечения отрезков BL и CK , можно описать окружность. Найдите все возможные значения AC .

Из того, что четырёхугольник AKML вписанный, следует, что углы MLC и MKA равны. Поскольку углы BCA и BAC также равны, получаем подобие треугольников BCL и CAK . Отсюда BC/CA = CL/AK . Из равенства площадей получаем BC * CL = CA * AK , то есть BC/CA = AK/CL . Стало быть, CA = BC = 1 .

1