Задача №17547

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $AB=BC=1\text{,}$ что площади треугольников $AKC$ и $BCL$ равны и что около четырёхугольника $AKML\text{,}$ где $M$ — точка пересечения отрезков $BL$ и $CK\text{,}$ можно описать окружность. Найдите все возможные значения $AC\text{.}$

Из того, что четырёхугольник $AKML$ вписанный, следует, что углы $MLC$ и $MKA$ равны. Поскольку углы $BCA$ и $BAC$ также равны, получаем подобие треугольников $BCL$ и $CAK\text{.}$ Отсюда $BC/CA=CL/AK\text{.}$ Из равенства площадей получаем $BC\cdot CL=CA\cdot AK\text{,}$ то есть $BC/CA=AK/CL\text{.}$ Стало быть, $CA=BC=1\text{.}$