Задача №17535

Найдите произведение корней уравнения

$$\sin \frac{x^2+x+1}{2x}+\cos \frac{x^2-x+1}{2x}=\frac{x^2-4x+1}{x}\cdot \cos \frac{\pi -2}{4}.$$

Положим $t=\frac{x^2+1}{2x}=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\text{.}$ Тогда исходное уравнение примет вид

$$\sin \left(t+\frac{1}{2}\right)+\cos \left(t-\frac{1}{2}\right)=2(t-2)\cos \frac{\pi -2}{4}.$$

Заметим, что

$$\sin (t+1/2)+\cos (t-1/2)=\sin t(\cos (1/2)+\sin (1/2))+\cos t(\cos (1/2)+\sin (1/2))=$$ $$=(\sin t+\cos t)(\cos (1/2)+\sin (1/2))=2\cos (t-\pi /4)\cos (\pi /4-1/2).$$

Получаем

$$\cos (t-\pi /4)=t-2.$$

На отрезке $[1,3]$ функция $\cos (t-\pi /4)$ убывает, ибо $3<\pi <4\text{.}$ Функция же $t-2$ на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором $t=t_0\text{.}$ Поскольку $t_0>1\text{,}$ уравнение $x^2-2t_{0}x+1=0$ имеет два различных корня. Их произведение равно 1.