Найдите произведение корней уравнения sin(x^2 + x + 1)/(2x) + cos(x^2 - x + 1)/(2x) = (x^2 - 4x + 1)/(x) * cos(pi - 2)/(4).

Положим t = (x^2 + 1)/(2x) = (1)/(2)(x + (1)/(x)) . Тогда исходное уравнение примет вид sin(t + (1)/(2)) + cos(t - (1)/(2)) = 2(t - 2)cos(pi - 2)/(4). Заметим, что sin(t + 1/2) + cos(t - 1/2) = sin t(cos(1/2) + sin(1/2)) + cos t(cos(1/2) + sin(1/2)) = = (sin t + cos t)(cos(1/2) + sin(1/2)) = 2cos(t - pi/4)cos(pi/4 - 1/2). Получаем cos(t - pi/4) = t - 2. На отрезке [1, 3] функция cos(t - pi/4) убывает, ибо 3 < pi < 4 . Функция же t - 2 на этом отрезке возрастает. Следовательно, графики этих функций имеют ровно одну общую точку при некотором t = t_0 . Поскольку t_0 > 1 , уравнение x^2 - 2t_0 x + 1 = 0 имеет два различных корня. Их произведение равно 1.

1