Задача №17521

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$2x^2{y}^2+x^{2}y+x{y}^2+(1-a)(x^2+y^2)-a(x+y+2)=0$$

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$).

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)\text{.}$ Тогда $x^4+x^3+(1-a)x^2-ax-a=0\text{,}$ то есть

$$(x^2-a)(x^2+x+1)=0.$$

Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось $a=0\text{.}$ Тогда исходное уравнение принимает вид

$$2x^2{y}^2+x^{2}y+x{y}^2+x^2+y^2=0.$$

Левая часть равна $x^2(y^2+y+1)+y^2(x^2+x+1)\text{,}$ стало быть, решение имеет вид $x=y=0$ и оно, действительно, единственно.