Найдите все значения параметра a , при которых уравнение 2x^2y^2 + x^2y + xy^2 + (1 - a)(x^2 + y^2) - a(x + y + 2) = 0 имеет ровно одно решение (относительно (x, y) ).

Если пара (x, y) — решение, то и пара (y, x) — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид (x, x) . Тогда x^4 + x^3 + (1 - a)x^2 - ax - a = 0 , то есть (x^2 - a)(x^2 + x + 1) = 0. Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось a = 0 . Тогда исходное уравнение принимает вид 2x^2y^2 + x^2y + xy^2 + x^2 + y^2 = 0. Левая часть равна x^2(y^2 + y + 1) + y^2(x^2 + x + 1) , стало быть, решение имеет вид x = y = 0 и оно, действительно, единственно.

\( a = 0 \)