Дан куб ABCDA′B′C′D′ с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′. Найдите объём многогранника с вершинами, являющимися серединами рёбер AB, AD, AA′, CC′, C′B′, C′D′, если известно, что ребро куба равно 1.
Обозначим середины рёбер AB, AA′, AD, C′D′, CC′, C′B′ соответственно E, F, G, K, L, M. Исследуемый многогранник является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием EGKM и вершинами F и L. Пусть P — точка пересечения плоскости EGKM с прямой AA′. Тогда AP=AF, то есть объём пирамиды EGKMF в два раза больше объёма пирамиды EGKMA. Аналогично, объём пирамиды EGKML в два раза больше объёма пирамиды EGKMC′. Далее, многогранник AEGKMC′ является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием AEC′K и вершинами G и M. Объём пирамиды AEC′KG в два раза меньше объёма пирамиды AEC′KD, а объём пирамиды AEC′KM в два раза меньше объёма пирамиды AEC′KB′. Наконец, многогранник DAEC′KB′ является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием ADC′B′ и вершинами E и K. Объём пирамиды ADC′B′E в два раза меньше объёма пирамиды ADC′B′B, а объём пирамиды ADC′B′K в два раза меньше объёма пирамиды ADC′B′D′. Итак, объём исходного многогранника в два раза меньше объёма многогранника ABDB′C′D′, который дополняется до куба тетраэдрами AA′B′D′ и BCDC′. Объёмы тетраэдров равны по 1/6. Стало быть, искомый объём равен (1−1/3)/2=1/3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ