Дан куб ABCDA'B'C'D' с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA' , BB' , CC' , DD' . Найдите объём многогранника с вершинами, являющимися серединами рёбер AB , AD , AA' , CC' , C'B' , C'D' , если известно, что ребро куба равно 1.

Обозначим середины рёбер AB , AA' , AD , C'D' , CC' , C'B' соответственно E , F , G , K , L , M . Исследуемый многогранник является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием EGKM и вершинами F и L . Пусть P — точка пересечения плоскости EGKM с прямой AA' . Тогда AP = AF , то есть объём пирамиды EGKMF в два раза больше объёма пирамиды EGKMA . Аналогично, объём пирамиды EGKML в два раза больше объёма пирамиды EGKMC' . Далее, многогранник AEGKMC' является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием AEC'K и вершинами G и M . Объём пирамиды AEC'KG в два раза меньше объёма пирамиды AEC'KD , а объём пирамиды AEC'KM в два раза меньше объёма пирамиды AEC'KB' . Наконец, многогранник DAEC'KB' является объединением двух четырёхугольных пирамид с общим основанием ADC'B' и вершинами E и K . Объём пирамиды ADC'B'E в два раза меньше объёма пирамиды ADC'B'B , а объём пирамиды ADC'B'K в два раза меньше объёма пирамиды ADC'B'D' . Итак, объём исходного многогранника в два раза меньше объёма многогранника ABDB'C'D' , который дополняется до куба тетраэдрами AA'B'D' и BCDC' . Объёмы тетраэдров равны по 1/6. Стало быть, искомый объём равен (1 - 1/3)/2 = 1/3 .

1/3