В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведены биссектриса AL и высота CH . Найдите косинус угла BAC , если HL AC .

Положим AC = a , CH = h , AH = x , BH = y . Тогда, поскольку HL AC , а AL — биссектриса, (x)/(y) = (CL)/(BL) = (a)/(x + y). Учитывая, что xy = h^2 , получаем ay = x^2 + xy = x^2 + h^2 = a^2 . Стало быть, y = a и x^2 + ax - a^2 = 0 . Отсюда (x/a)^2 + (x/a) - 1 = 0 и x/a = (sqrt(5) - 1)/2 . Остаётся заметить, что искомый косинус равен x/a .

\( (\sqrt{5} - 1)/2 \)