Найдите все пары положительных чисел (x, y) , удовлетворяющих уравнению _(2x^2 y + 1)(x^4 + y^2 + 1) = _(y^4 + x^2 + 1)(2xy^2 + 1).

Заметим, что x^4 + y^2 + 1 2x^2 y + 1 и y^4 + x^2 + 1 2y^2 x + 1 . Следовательно, _(2x^2 y + 1)(x^4 + y^2 + 1) 1 _(y^4 + x^2 + 1)(2xy^2 + 1) и равенство достигается тогда и только тогда, когда одновременно x^4 + y^2 = 2x^2 y и y^4 + x^2 = 2y^2 x , то есть когда x^2 = y и y^2 = x . Поскольку x, y > 0 , имеем x = y = 1 .

\( x = y = 1 \)