Задача №17507

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)\text{,}$ удовлетворяющих уравнению

$${\log }_{2x^{2}y+1}(x^4+y^2+1)={\log }_{y^4+x^2+1}(2x{y}^2+1).$$

Заметим, что $x^4+y^2+1⩾2x^{2}y+1$ и $y^4+x^2+1⩾2y^{2}x+1\text{.}$ Следовательно,

$${\log }_{2x^{2}y+1}(x^4+y^2+1)⩾1⩾{\log }_{y^4+x^2+1}(2x{y}^2+1)$$

и равенство достигается тогда и только тогда, когда одновременно $x^4+y^2=2x^{2}y$ и $y^4+x^2=2y^{2}x\text{,}$ то есть когда $x^2=y$ и $y^2=x\text{.}$ Поскольку $x,y>0\text{,}$ имеем $x=y=1\text{.}$