Решите неравенство _(|2x - (1)/(2)|)(x + 1 + (1)/(x)) _(|2x - (1)/(2)|)(x^2 + 1 + (1)/(x^2)) .

Задача №17504: Неравенство

Решите неравенство $lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x + 1 + \frac{1}{x}) ⩾ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

Зафиксируем ОДЗ $x :$ $x > 0,$ $x \neq = \frac{1}{4}, \frac{3}{4} .$ Далее, заметим, что

x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}} = (x + 1 + \frac{1}{x}) (x - 1 + \frac{1}{x}) .

Стало быть, при $x$ из ОДЗ

lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x + 1 + \frac{1}{x}) ⩾ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) ⟺ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x - 1 + \frac{1}{x}) ⩽ 0 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0, x \neq = \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ( 2 x - \frac{1}{2} - 1 )} ⩽ 0 ⟺ x \in (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \cup {1} .

Решите неравенство $lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x + 1 + \frac{1}{x}) ⩾ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$

Зафиксируем ОДЗ $x :$ $x > 0,$ $x \neq = \frac{1}{4}, \frac{3}{4} .$ Далее, заметим, что

x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}} = (x + 1 + \frac{1}{x}) (x - 1 + \frac{1}{x}) .

Стало быть, при $x$ из ОДЗ

lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x + 1 + \frac{1}{x}) ⩾ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}) ⟺ lo g_{∣2 x - \frac{1}{2} ∣} (x - 1 + \frac{1}{x}) ⩽ 0 ⟺

⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x > 0, x \neq = \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ( 2 x - \frac{1}{2} - 1 )} ⩽ 0 ⟺ x \in (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) \cup {1} .