Задача №17502

Дана возрастающая геометрическая прогрессия $b_1,b_2,b_3,\dots \text{,}$ состоящая из положительных чисел. Известно, что сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна второму члену, умноженному на 10/3. Найдите отношение $b_6+b_7+b_8+b_9+b_{10}$ к $b_1+b_2+b_3+b_4+b_5\text{.}$

Пусть $q$ — знаменатель. Тогда $1+q^2=\frac{10}{3}q\text{,}$ то есть $3q^2-10q+3=0\text{.}$ Стало быть, $q=3$ или $q=1/3\text{.}$ Поскольку последовательность возрастающая, $q=3\text{.}$ Искомое отношение равно $(b{q}^5+b{q}^6+b{q}^7+b{q}^8+b{q}^9)/(b+bq+b{q}^2+b{q}^3+b{q}^4)=q^5=3^5=243\text{.}$